En 1822 el matemático y físico francés Jean-Baptiste Joseph Fourier publicó el libro Teoría analítica del calor expresando la difusión del calor como suma de series infinitas de senos y cosenos. Habían visto la luz las series de Fourier, un instrumento matemático de gran importancia por sus interesantes aplicaciones en la resolución de numerosos problemas de Física e ingeniería. Sirva este artículo como homenaje al genial científico.

Fourier (1768-1830) fue el noveno de 12 hermanos, con 10 años ya era huérfano de padre y madre, lo que no le impidió desarrollar su enorme talento. Pronto se interesó por las matemáticas, muestra de su gran ambición es una frase que escribió en la correspondencia que mantenía con un profesor: – Ayer cumplí 21 años, a esa edad Newton y Pascal ya eran inmortales –.

Fue alumno de Lagrange y Laplace. Vivió la Revolución Francesa como revolucionario muy disconforme con la crueldad de los acontecimientos.

Sus capacidades no pasaron desapercibidas a Napoleón que le empleó como consejero científico y en otros cargos en su campaña de Egipto.

Joseph Fourier

Como autor de este artículo he de confesar que pasados años de mi periplo universitario y como muchos, bastante desconectado de matemáticas de nivel, todavía dudaba si recordaba correctamente que fuera cierto la posibilidad que Fourier nos permite convertir en suma de senos y cosenos cualquier función periódica pues no deja de ser algo difícil de creer hasta que vuelves a interesarte por el tema. Ves las demostraciones de nuevo y te dices: – pues no te ha fallado la memoria, por increíble que parezca, es cierto –.

Increíble ¿verdad? Pues todavía lo pudo mejorar este portentoso galo y conseguir tal conversión para cualquier función sin necesidad de que sea periódica (= período infinito) gracias a la transformada de Fourier. ¡No va más!

Expresión de la transformada de Fourier donde f es la frecuencia y t el tiempo (o espacio si la función original depende del espacio). Difícil entender su obtención pero fácil comprender muchas de sus aplicaciones. La magia hecha matemática. Otra prueba de esa maravillosa conexión entre las matemáticas y la naturaleza.

Los extraordinarios trabajos del talentoso francés consiguen descomponer un problema complejo en otros más sencillos para poder entenderlos mejor y ayudar a solucionarlos. La consecución de tal logro tuvo otros contribuyentes de lujo como Gauss, Euler, Bernouilli o Lagrange y es de ley mencionarles. De nombres así sólo podía surgir algo grande.

En el siguiente gráfico se muestran los 6 primeros armónicos no nulos de una señal tan distinta de una senoide como es una onda cuadrada. Su suma resulta la señal en rojo. Si seguimos sumando armónicos de la serie la gráfica resultante irá aumentando su parecido con una onda cuadrada perfecta. No deja de ser una maravilla contemplarlo aunque ya lo conociéramos.

Fonte: https://www.lifeder.com/series-de-fourier/
Descomposición hasta el sexto armónico de una onda cuadrada.

Las series de Fourier tienen numerosas aplicaciones en el campo de la electricidad, óptica, acústica, procesamiento de señales, análisis de vibraciones, mecánica cuántica, econometría,​ cálculo de estructuras,​ etc.

Pudiendo descomponer ondas en sumas de armónicos podemos filtrar las frecuencias que interesan para eliminar ruidos o aprovechar todo el espectro radioeléctrico en telecomunicaciones.

En el terreno de la energía eléctrica, por ejemplo, bien sabemos que los armónicos son una amenaza creciente debido a la gran cantidad de receptores no lineales y de electrónica que cada vez están más presentes en los circuitos. En particular sabemos que para sistemas trifásicos el armónico de orden 3 (frecuencia 150 Hz) se suma y va en fase por el neutro.

La siguiente gráfica nos ayuda a entenderlo:

Fuente: https://www.sectorelectricidad.com/13810/armonicos-que-son-y-como-nos-afectan/
Sistema trifásico de de alimentación desde las 3 bobinas del secundario de un transformador y el retorno por el neutro (4º conductor).

En cada fase podemos ver la componente fundamental de 50 Hz (en gris) y su armónico de orden 3 en color rojo separado. Por el conductor neutro circulará la suma de las 3 fases pues recordemos que al tener frecuencia de 150 Hz ya no se anula en este conductor.

Al ver el dibujo es fácil entender lo que prescribe el REBT, incrementando la sección del conductor neutro conseguiremos evitar su sobrecalentamiento. De ahí que los cables trifásicos de stock ya no tengan neutro de sección mitad sino igual a las fases por defecto.

Los cables trifásicos presentan secciones iguales para fases y neutro para soportar el eventual calentamiento producido por los armónicos, especialmente el de orden 3.

El conocimiento de los armónicos nos ayuda igualmente a evaluar la calidad de la energía que tenemos en una instalación. Para ello se define la tasa de distorsión armónica (THD) referenciada al valor fundamental. En nuestro caso el valor a 50 Hz.

Tasa de distorsión armónica de una función periódica g (g_i es el valor eficaz del i-ésimo armónico)

Aplicada a tensión o intensidad podemos tasar la incidencia de los armónicos y adoptar las soluciones necesarias. Se estima que a partir de un 5 % para tensión y/o un 10 % para intensidad pueden haber un problema de calidad de la energía situándose el riesgo elevado desde el 8 % y el 50 % respectivamente.

Sin duda Fourier se ganó un lugar privilegiado en el “hall of fame” de la matemática y la ingeniería. La humanidad lleva 200 años aprovechando sus magníficas aportaciones. Es justo recordarle y renovar la admiración por ideas tan asombrosas.

Lisardo Recio Maíllo

Product Manager

Prysmian Group