Partiendo del circuito básico de una línea de baja tensión obtendremos las expresiones para calcular la caída de tensión en todos los casos posibles. 

Supongamos una línea eléctrica monofásica simple sometida a la tensión U₁ por la que circula la intensidad I y a cuya carga le llega una tensión U₂. La impedancia de la línea es Z_L y sabemos que está compuesta por resistencia (R) y reactancia inductiva (X). Por tanto, Z_L = R + Xj).

La GUIA-ANEXO-BT 2 sobre cálculo de caídas de tensión expone el siguiente diagrama fasorial que representa de forma gráfica la caída de tensión en la línea y ayuda a entender las expresiones para el cálculo de la caída de tensión (ΔU).

La propia GUIA-ANEXO-BT 2 nos recuerda que el ángulo Ɵ es muy pequeño y por ello los fasores RI y XI se pueden entender muy similares en valor al de su proyección horizontal.

ΔU = U₁– U₂≈ AB + BC = R·I·cosφ + X·I·senφ

Ahora expresamos R en función de la resistividad eléctrica (ρ), la longitud de la línea (L) y la sección del conductor (S), tenemos en cuenta que el conductor de la línea es de ida y vuelta:

⇒ R = 2ρ·L/S → como la conductividad (ϒ) es inversa de la resistividad (ρ) →

⇒ R = 2L/(ϒ·S)

X es la reactancia inductiva de la línea que también depende de su longitud (X = x·L), siendo x el valor de la reactancia inductiva en Ω/km. Si el valor de la longitud se va a introducir en m, nos quedará:

⇒ X = 2·10^-3·x/n·L

Siendo n el número de conductores por fase. Para poder obtener la fórmula también cuando se emplea más de un conductor por fase.

ΔU = 2L·I·cosφ/(ϒ·S) + 2 x 10^-3·x/n·L·I·senφ

Despejamos S para obtener la sección por caída de tensión en tendidos monofásicos:

Donde:

–        S = sección del conductor en mm²

–        cos φ = coseno del ángulo φ entre la tensión (de fase) y la intensidad

–        L = longitud de la línea en m

–        I = intensidad de corriente en A

–        γ = conductividad del conductor en m/(Ω·mm²)

–        ΔU = caída de tensión máxima admisible en V

–        x = reactancia de la línea (0,08 Ω/km)

–        n= número de conductores por fase

Obviamente si hablamos de una línea con tensión continua la fórmula se simplifica (cosφ = 1  → sen φ = 0):

El razonamiento es análogo para obtener la sección por caída de tensión en un sistema trifásico cambiando el 2 de la fórmula anterior por √3 ya que se calcula habitualmente la caída de tensión entre fases. Lo demostramos a continuación:

La caída de tensión entre las fases R y S será:

Sabemos que la tensión de línea se puede expresar en función de tensiones de fase:

Aplicando el teorema del seno:

Por tanto, el módulo de la tensión compuesta es Ѵ3 veces el valor del módulo de la tensión simple y la caída de tensión entre las fases R y S tendrá la siguiente forma siguiendo el mismo razonamiento que para el circuito monofásico:

De ello obtenemos que la expresión para el cálculo de la caída de tensión en voltios es igual que para monofásica multiplicada por √3:

ΔU = √3L·I·cosφ/(ϒ·S) + √3 x 10^-3·x·L·I·senφ

Fórmula idéntica a la de caída de tensión monofásica pero en la que ha cambiado el 2 por √3.

Y con el mismo desarrollo que anteriormente llegamos a la fórmula para obtener la sección por caída de tensión en líneas trifásicas:

La reactancia (x)

La reactancia (x) es un valor que se puede considerar constante e igual a 0,08 Ω/km independientemente de si el tendido es monofásico o trifásico, si el conductor es de cobre o aluminio, si la sección es grande o pequeña, etc.

Si los aislamientos o cubiertas de los conductores están en contacto, como en los siguientes ejemplos, x = 0,08 Ω/km es un valor aproximado bastante acertado.

 

El valor 0,08 Ω/km es un valor aceptado por la norma UNE-HD 60364-5-52 (= IEC 60364-5-52) en su anexo G. Asimismo la contempla la norma francesa NF C 15-100 en su punto 525. (Este valor está demostrado como válido con ejemplos en este artículo).

Teniendo en cuenta que a medida que la sección de un conductor aumenta, su resistencia disminuye, el efecto de la reactancia está más presente en la caída de tensión. Por ello, en general habremos visto fórmulas más simples para el cálculo de la sección por caída de tensión que son iguales a las anteriormente expuestas con la reactancia igual a cero. Esto puede ser aceptable para cables de cobre hasta 35 mm² y cables de aluminio hasta 70 mm². Pero para secciones iguales o superiores lo correcto es no obviar el efecto de la reactancia y aplicar las fórmulas anteriores.

También tenemos la opción de calcular la sección por caída de tensión en función de la potencia. Especialmente útil si no sabemos el cosφ.

Como se ha dicho anteriormente los aislamientos o cubiertas de los conductores han de estar en contacto, si tales aislamientos se separan el valor de la reactancia crece y por tanto también la caída de tensión. En los siguientes ejemplos no podríamos tomar como reactancia 0,08 Ω/km. Deberíamos calcular su valor con las fórmulas de este artículo.

La reactancia (x) figura en la fórmula dividida por el número de conductores por fase (n) porque como sabemos, cuándo se emplean varios conductores por fase su impedancia resultante es una asociación de impedancias iguales en paralelo.

Dónde Z_T es la impedancia total de la fase y Z_f la impedancia de cada conductor de la fase.

Lo anterior explica fácilmente el porqué x aparece dividido por n.

Y ¿por qué R no aparece dividido por n en la fórmula?

Realmente no aparece n relacionado con R pero la fórmula es coherente porque la sección es la sección total, suma de todas las secciones de los conductores de una fase.

Si tomamos el ejemplo monofásico:

ΔU = U₁– U₂≈ AB + BC = R·I·cosφ + X·I·senφ = 2L·I·cosφ/(ϒ·S) + 2 x 10^-3·x/n·L·I·senφ

Como podemos ver la sección está en el denominador del primer término, el término relacionado con la resistencia. Y esa sección es igual que si pusiéramos S = s·n siendo s la sección del conductor de una fase y no la total de la fase.

Como para el caso de emplear más de un conductor por fase, hay que iterar dando valores a n, sustituir S por s·n es otra posibilidad de obtener la misma solución. La sección s obtenida es la de cada conductor de fase (o sección inmediata superior normalizada) y n el número de veces que hay que instalar la sección s en cada fase.

La fórmula quedaría como sigue para monofásica (y análogamente para trifásica). Podemos ver que es equivalente a la razonada anteriormente simplemente se ha sustituido S por s·n. Y de esta forma queda demostrado que la resistencia si está afectada por el número de conductores por fase:

La conductividad (ϒ)

El valor de la conductividad depende de la temperatura del conductor. En ausencia de datos concretos o de cálculo de la misma se debe utilizar el valor más desfavorable posible por seguridad. Tal valor coincide con el de máxima temperatura del conductor:

	Temperatura del conductor
	20 ºC	Termoplásticos    70 ºC	Termoestables     90 ºC
Cu	58,00	48,47	45,49
Al	35,71	29,67	27,8

Conductividad eléctrica en m/(Ω·mm²)

NOTA: Los valores de la tabla están calculados siguiendo las normas UNE 20003 y UNE 21096 que recogen las características del cobre y el aluminio destinado a usos eléctricos. El anexo G de la norma UNE-HD60364-5-52 ofrece valores muy similares (44,4 Ω·mm²/m (Cu) y 27,78 Ω·mm²/m (Al) a 90 ºC).

Los cables termoplásticos soportan una temperatura máxima en régimen permanente de 70 ºC en su conductor y los termoestables 90 ºC. Ver lista de cables termoestables y termoplásticos en la página 50 del catálogo Prysmian de cables y accesorios para baja tensión.

Si queremos saber la temperatura real máxima a la que va a estar el conductor en la canalización para averiguar la conductividad aplicaremos primeramente la fórmula que relaciona la intensidad del cable con la temperatura y después la que nos proporciona la resistividad eléctrica, que es inversa de la conductividad eléctrica, en función de la temperatura.

Sabemos por la ley de Ohm térmica que diferencia de temperatura entre un cuerpo y el ambiente es igual al producto de la potencia calorífica que el cuerpo emana a ese ambiente multiplicado por la resistencia térmica del ambiente.

Y por otro lado sabemos que la potencia en forma de calor que disipa un conductor eléctrico de resistencia eléctrica R_E atravesado por una intensidad de corriente I tiene la siguiente expresión (efecto Joule):

Sabiendo que la energía generada por efecto Joule es igual a la transmitida al ambiente tendremos que:

Consideremos I_máx como la máxima corriente que puede soportar el conductor en las condiciones de instalación en que está. A esta intensidad de corriente es evidente que el conductor funcionará a su temperatura máxima Ɵ_máx

Por tanto:

Ɵ₀: temperatura ambiente

I_máx: intensidad máxima admisible para el conductor en las condiciones en que se encuentra instalado (considerando los coeficientes de corrección que le sean de aplicación)

Ɵ_máx: máxima temperatura admisible en el conductor

I: intensidad que circula por el conductor

Ɵ: temperatura del conductor

Una vez tenemos la temperatura la introducimos en la fórmula de la resistividad correspondiente para cobre o aluminio y obtendremos el valor de la resistividad a la temperatura real del conductor. Su inversa será la conductividad que ya podemos sustituir en la fórmula correspondiente de obtención de la sección por caída de tensión.

ρ_CuƟ = 1/58 x (1 + 0,00393 x (Ɵ-20))     (UNE 20003 e IEC 28)  (resistividad eléctrica de conductor de cobre)

ρ_AlƟ = 0,028 x (1 + 0,00407 x (Ɵ-20))  (UNE 21096 e IEC 121) (resistividad eléctrica de conductor de aluminio)                                                          

1/58 valor de resistividad del cobre a Ɵ₀ = 20 ºC en Ω·mm²/m

0,028 valor de resistividad del aluminio a Ɵ₀ = 20 ºC en Ω·mm²/m

ϒ = 1/ρ

Ejemplo de cálculo

Obtener la sección mínima necesaria para una línea de las siguientes características:

U = 400 V (trifásica)

I = 280 A

L = 390 m

cosφ = 0,9

Cable Al Voltalene Flamex CPRO (S)

Sistema de instalación: enterrado bajo tubo

Máxima caída de tensión admisible: ΔU = 5 %

Calculamos la sección por el criterio de la intensidad admisible:

La tabla C.52.2 bis de la norma UNE-HD 60364-5-52 contiene las intensidades admisibles para cables enterrados directamente o bajo tubo.

El cable Al Voltalene Flamex CPRO (S) tiene conductor de aluminio y aislamiento termoestable (→ XLPE), por tanto buscamos conductor de aluminio y XLPE3 observando que la menor sección que soporta la intensidad de 280 A es 300 mm² con un máximo de 295 A.

Por el criterio de la intensidad admisible la sección solución es 300 mm².

Ahora vamos a calcular la sección mínima admisible por caída de tensión.

Empleamos la fórmula para alterna monofásica con influencia de la reactancia pues la sección será presumiblemente mayor que 70 mm² y en cualquier caso siempre es una fórmula válida.

Tomamos inicial el valor más desfavorable para la conductividad, es decir, el valor a máxima temperatura posible en el conductor (90 ºC) → 27,8 Ω·mm²/m y suponemos que la línea tendrá un solo conductor por fase (n = 1).

La caída de tensión en voltios es ΔU = 5×400/100 = 20 V.

En este caso debemos dividir la solución por 2 dado que partimos de la suposición n=2 →

367/2 = 183,5 → se deberán emplear 2 conductores de 1×185 mm² por fase que será la sección solución al ser superior a la del criterio de la intensidad admisible.

Ahora podemos afinar el cálculo obteniendo la conductividad del aluminio a la temperatura de funcionamiento de los conductores.

Recordamos la fórmula para calcular la temperatura de conductor:

En nuestro caso la temperatura ambiente (Ɵ₀) será la estándar de España para tendidos subterráneos (25 ºC)

La temperatura máxima del conductor al ser cable termoestable es Ɵ_máx = 90 ºC.

I es la intensidad de funcionamiento de la línea: 280 A

I_máx es el valor máximo de la intensidad que puede transportar la línea en las condiciones de instalación.

En nuestro caso tenemos dos ternas de cables de 1×185 mm² enterradas bajo tubo en contacto.

En la tabla B.12.19 de UNE-HD 60364-5-52 encontramos el factor de corrección por agrupamiento (0,85). Aunque se trate de un solo circuito, como son dos ternas influyéndose térmicamente hay que tener en cuenta siempre el correspondiente coeficiente de corrección por agrupamiento.

Si observamos la tabla de intensidades admisibles reproducida anteriormente vemos que el cable de 1×185 mm² de aluminio soporta 226 A:

Ahora ya podemos calcular la resistividad eléctrica:

Vemos que no se rebajaría la sección de los conductores a instalar puesto que 331/2 = 165,5 y la sección inmediata superior normalizada sigue siendo 185 mm². Si hubiéramos supuesto un solo conductor por fase también superamos el valor de la sección máxima en stock (1×400 mm²) dejamos al lector su comprobación.

Sin embargo, si hubiéramos escogido un valor muy común de conductividad como es el de ϒ= 35 Ω·mm²/m hubiéramos obtenido una sección inferior como solución. Esto nos llevaría a la instalación de 1 conductor de 1×400 mm² por fase que en realidad supera el 5 % de caída de tensión máxima admisible pues ya hemos visto que ajustando al valor de conductividad a la temperatura del conductor (valor mínimo admisible) la sección habría de ser 2x(1×185 mm²).

El resultado sería un cable por fase de 1×400 mm² pero ya sabemos con seguridad que la conductividad del aluminio no va a ser 35 Ω·mm²/m, que es un valor muy próximo al de 20 ºC.

Lisardo Recio Maíllo

Product Manager

Prysmian Group

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